أوجد قيمة: ( ٠,٢ + ٠,٣ + ٠,٤ +............. + ١ ) - ( ٠,١ + ٠,٢ + ٠,٣ + .......... + ٠,٩ )
الشرح والحل
حساب المجموع الأول
المتتالية الأولى هي:
( ٠,٢ + ٠,٣ + ٠,٤ +............. + ١ ) هذه متتالية حسابية:
الحد الأول ( أ ) = ٠,٢
الحد الأخير (ح ن ) = ١
الفرق بين الحدود ( د ) = ٠,١
لمعرفة عدد الحدود (ن)، نستخدم صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية:
ح ن = أ + (ن - ١ ) د
١ = ٠,٢ + (ن - ١) ٠,١
١ - ٠,٢ = ( ن - ١ ) ٠,١
٠,٨ = ( ن - ١ ) ٠,١
ن - ١ = ٠,٨ ÷ ٠,١ = ٨
ن - ١ = ٨
ن = ٨+١ = ٩
إذن، هناك ٩ حدود في المتتالية الأولى.
الآن، نحسب المجموع باستخدام صيغة مجموع المتتالية الحسابية:
جـ ن = ن ÷ ٢ ( أ + ح ن )
جـ ٩ = ٩ ÷ ٢ ( ٠,٢ + ١ ) = ٤,٥ × ١,٢ = ٥,٤
إذن، المجموع الأول = ٥,٤
حساب المجموع الثاني
المتتالية الثانية هي: ( ٠,١ + ٠,٢ + ٠,٣ + .......... + ٠,٩ ) هذه أيضًا متتالية حسابية:
الحد الأول ( أ ) = ٠,١
الحد الأخير (ح ن ) = ٠,٩
الفرق بين الحدود ( د ) = ٠,١
لمعرفة عدد الحدود (ن)، نستخدم صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية:
ح ن = أ + (ن - ١ ) د
٠,٩ = ٠,١ + ( ن - ١ ) ٠,١
٠,٩ - ٠,١ = ( ن - ١ ) ٠,١
٠,٨ = ( ن - ١ ) ٠,١
( ن - ١ ) = ٠,٨ ÷ ٠,١ = ٨
ن - ١ = ٨
ن = ٨+١ = ٩
إذن، هناك ٩ حدود أيضًا في المتتالية الثانية.
الآن، نحسب المجموع باستخدام صيغة مجموع المتتالية الحسابية:
جـ ن = ( أ + ح ن )
جـ ٩ = ٩ ÷ ٢ ( ٠,١ + ٠,٩ ) = ٩ ÷ ٢ × ١ = ٤,٥ × ١ = ٤,٥
إذن، المجموع الثاني = ٤,٥
الآن نطرح المجموع الثاني من المجموع الأول:
٥,٤ − ٤,٥ = ٠,٩
القيمة المطلوبة هي ٠,٩